Espacios vectoriales.

Definición de espacio vectorial y propiedades

Definicion: Dado un cuerpo conmutativo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos), en el que llamaremos por: 0 (cero) al elemento nulo. 1 (uno) al elemento unidad.

Un conjunto V dotado de una ley de composición interna (+), (suma de vectores), y una ley de composición externa (•), (producto por un escalar), respecto al cuerpo K, es un espacio vectorial si y solo si: V tiene estructura de grupo conmutativo, respecto a la ley de composición interna (+), (suma de vectores). Respecto a su ley de composición externa (•), (producto por un escalar), se cumple: 1

2

3

4

Definido un espacio vectorial V, un subconjunto S de V, que a su vez cumple las leyes de espacio vectorial es un subespacio vectorial.

Propiedades: Además se cumplen las siguientes 10 propiedades (5 propiedades para la suma vectorial y 5 para el producto por escalares):

Nota: En adelante, y como es costumbre, los vectores se indican con letras latinas con una flecha encima; si no es así se trata de escalares.

• Para la suma de vectores 1 Cerradura

2 Conmutatividad

3 Asociatividad

4 Inverso Aditivo

5 Neutro Aditivo

• Para el Producto por Escalares 6 Cerradura

7 Distributiva 1

8

 Distributiva       2 

9 Asociativa

10

Aquí la suma entre escalares es la definida para el cuerpo de escalares; parece lioso pero la suma entre vectores puede ser construida con otras reglas muy diferentes a las de la suma entre escalares. Sin embargo, como ocurre con los vectores geométricos habituales y los números reales, una suma puede llevar a la otra o estar relacionadas.

Matrices y Determinantes.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

MATRICES

Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma

La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, …, m, j =1, …, n, o simplemente por (ai j ).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, …, y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, …

Ejemplo:

donde sus filas son (1, −3, 4) y (0, 5, −2) y sus

CLASES DE MATRICES

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad

Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, …, ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I ·A = A.

Matrices triangulares

Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, …, dnn ). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por

diag(3,−1,7) diag(4,−3) y diag(2,6,0,−1).

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m ð n, entonces AT = es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB)T = BTAT.

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,

si AT = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal.

OPERACIONES CON MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ð 2 y otra de 3 ð 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

Producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 ð 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 ð 5, la matriz resultante será de orden 2 ð 5.

(2 ð 3) ð (3 ð 5) = (2 ð 5)

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.

3 ð 5 por 2 ð 3,

puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.

Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m ð p y B una matriz p ð n. Entonces el producto AB es la matriz m ð n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.

Esto es,

Ejemplo:

1.

2.

ð Producto por un escalar

El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:

Ejemplo:

Entonces:

División de matrices

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

Ejemplo:

MATRICES INVERTIBLES

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que

AB = BA = I

siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.

Ejemplo:

Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Método de Gauss

Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matriz n ð 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria

Paso 1.

Paso 2.

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal.

Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.

Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.

Ejemplo:

Supongamos que queremos encontrar la inversa de

Primero construimos la matriz M = (A I),

La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible).

A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre −1:

La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.

Comprobación:

AA-1 = I

Sistemas de ecuaciones lineales.

Ecuaciones lineales con más de dos variables. Para sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables, podemos usar el método de eliminación por sustitución o el método de eliminación por suma o resta (por adición o sustracción). El método de eliminación por suma o resta es la técnica más breve y fácil de hallar soluciones. Además, lleva la técnica de matrices que se estudia en esta sección.

Cualquier sistema de ecuaciones lineales con tres variables tiene una solución única, un número infinito de soluciones o no tiene solución.

Método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones lineales: Ejemplo: Resuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9 …………………………….. (primer ecuación) 4x + 5y + 6z = 24 …………………………. (segunda ecuación) 3x + y - 2z = 4 ……………………………. (tercera ecuación)

Solución: Suma −4 veces la “primera ecuación” a la “segunda”: x + 2y + 3z = 9 -3y - 6z = −12 3x + y - 2z = 4

Suma −3 veces la “primera ecuación” a la “tercera”: x + 2y + 3z = 9 -3y - 6z = −12 -5y - 11z = −23

Multiplica por -(1÷ 3) la “segunda ecuación”: x + 2y + 3z = 9 y + 2z = 4 -5y −11z = −23

Multiplica por −1 la “tercera ecuación”: x + 2y + 3z = 9 y + 2z = 4 5y +11z = 23

Suma −5 veces la “segunda ecuación” a la “tercera”: x + 2y + 3z = 9 y + 2z = 4 z = 3

Las soluciones del último sistema son fáciles de hallar por sustitución. De la “tercera ecuación”, vemos que z = 3. Al sustituir “z” con 3 en la “segunda ecuación”, y + 2z = 4 obtenemos y = −2. Por último, encontramos el valor de “x” al sustituir y = −2 y z = 3, en la “primera ecuación”, x + 2y + 3z = 9 con lo cual x = 4. Por tanto, hay una solución:

x = 4, y = −2, z = 3.

Si analizamos el método de solución, vemos que los símbolos usados para las variables carecen de importancia; debemos tomar en cuenta los coeficientes de las variables. Puesto que esto es verdadero, es posible simplificar el proceso. En particular, introducimos un esquema a fin de seguir los coeficientes en forma tal que no haya necesidad de escribir las variables.

Con referencia al sistema anterior, primero comprobamos que las variables aparezcan en el mismo orden en cada ecuación y que los términos sin variables estén a la derecha de los signos de igualdad. En seguida anotamos los números que intervienen en las ecuaciones de esta forma:

Una ordenación de números de este tipo se llama matriz.

Los renglones (o filas) de la matriz son los números que aparecen uno a continuación del otro en sentido horizontal:

1 2 3 4 primer renglón R1 4 5 6 24 segundo renglón R2 3 1 −2 4 tercer renglón R3

Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentido vertical

Primera columna C1 Segunda columna C2 Tercera columna C3 Cuarta columna C4 1 2 3 9 4 5 6 24 3 1 −2 4

La matriz obtenida del sistema de ecuaciones lineales del modo anterior es la matriz del sistema. Si borramos la última columna, la restante ordenación es la matriz de coeficiente. En vista de que podemos tener la matriz del sistema a partir de la matriz coeficiente agregando una columna, le decimos matriz coeficiente aumentada o simplemente matriz aumentada. Después, cuando usemos matrices para hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, introduciremos un segmento de línea vertical en la matriz aumentada a fin de indicar dónde aparecerían los signos de igualdad en el sistema de ecuaciones correspondiente.

Sistema Matriz coeficiente Matriz aumentada

Antes de estudiar un método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales, daremos una definición general de matriz.

Definición de matriz. Sean m y n enteros positivos. Una matriz de m x n (se lee “m” por “n”), es una matriz de la siguiente forma, donde cada aij es un numero real.

Ejemplos: Sea la matriz:

    por tanto, es una “matriz de orden 2 x 3.”

Sea la matriz:

               por tanto, es una “matriz de orden 3 x 1.”

Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices. Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si: a) Se intercambian dos renglones. Símbolo: Ri Rj. b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Símbolo: kRi Ri. c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Símbolo: kRi + Rj Rj.

Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo. Resuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y - 2z = 4

Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:

Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices equivalentes.

     (−4)R1 + R 2 R 2 

(−3)R1 + R 3 R 3? (-(1÷ 3))R 2 R 2 (−1)R 3 R 3 (−5)R2 + R 3 R 3

Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:

Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = −2, z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución.

La matriz final de la solución es una forma escalonada. En general, una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones:

a) El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1. b) La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo. c) Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz.

Ejemplo: Sea la matriz:

 ,      es “una matriz escalonada”

Guías para hallar la forma escalonada de una matriz. (a) Localizar la primer columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener 1 en el primer renglón de esa columna. (b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno de los renglones restantes. © Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna. (d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj Rj. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía © en cada uno de los renglones restantes. (e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir el procedimiento. (f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.

Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo: Resuelve el sistema:

Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma escalonada, según se describe en las guías.

       R1  R4   

      R2  R3   

(1)R1 + R 3 R 3 (−2)R1 + R 4 R 4? (−1)R 2 R 2 (-(1÷ 2))R 2 R 2 (−1)R2 + R 3 R 3 (−1)R2 + R 4 R 4 (3)R3 + R 4 R 4

La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de ecuaciones: (-(1÷ 2))R 4 R 4

Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos que w = −1; de la tercera ecuación vemos que z = −2 . Sustituimos en la segunda ecuación, y obtenemos: y - 2z - w = 6 y - 2(−2) - (−1) = 6 y + 4 + 1 = 6 y = 1

Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación: x + z + 2w = −3 x + (−2) + 2(−1) = −3 x - 2 - 2 = −3 x = 1

Por lo tanto, el sistema tiene una solución: x = 1, y = 1, z = −2, w = −1.

Numeros Complejos,

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES SOBRE NUMEROS COMPLEJOS. Sea z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces:

a) La condición necesaria y suficiente para que los números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di sean iguales es que a = c y b = d. b) Para sumar dos números complejos z1 + z2 se suman por una parte, las partes reales y por otra las imaginarias.

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i

c) Para restar dos números complejos z1 - z2 se restan, por una parte, las partes reales y por otra las imaginarias.

z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = a – c + (b – d)i

d) Para multiplicar dos números complejos z1z2 se efectúa la operación como si se tratase de dos binomios sustituyendo i2 por −1.

z1z2 = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i.

e) Para dividir dos números complejos , se multiplican el numerador y denominador por el conjugado del denominador y se sustituye i2 por −1.

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS. Ejemplo 1.4: z = (5 + 4i) + (3 + 2i) = 5 + 3 + (4 + 2)i = 8 + 6i

           z = (−6 + 2i)  + (4 – 5i) = −6 + 4 + (2 – 5)i  = −2 – 3i

Ejemplo 1.5: z = (3 + 2i) – (5 – 3i) = 3 – 5 + [2 – (−3)]i = - 2 + 5i

           z = (−1 + i) – (−3 + 2i) = −1 – (−3) + (1 – 2)i  =  2 – i

Ejemplo 1.6: z = (5 +3i)(2 – 2i) = (5)(2) – (3)(−2) + [(5)(−2) + (3)(2)]i

                                          = 10 + 6 +(−10 + 6)i
                                         = 16 – 4i.
                  z = (−3 +2i)(−6 + 2i) = (−3)(−6) - (2)(2) + [(−3)(2) + (−6)(2)]i
                                           = 18 – 4 + (−6 −12)i
                                           = 14 – 18i